已知:在△ABC中,D为BC边上一点,B,C两点到直线AD的距离相等.(1)如图1,若△ABC是等腰三角形,A...
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已知:在△ABC中,D为BC边上一点,B,C两点到直线AD的距离相等.
(1)如图1,若△ABC是等腰三角形,AB=AC,则点D的位置在点D为线段BC的中点;
(2)如图2,若△ABC是任意一个锐角三角形,猜想点D的位置是否发生变化,请补全图形并加以*;
(3)如图3,当△ABC是直角三角形,∠A=90°,并且点D满足(2)的位置条件,用等式表示线段AB,AC,AD之间的数量关系并加以*.
【回答】
【考点】全等三角形的判定与*质.
【分析】(1)点D为线段BC的中点,根据线段的中点即可解答;
(2)点D的位置没有发生变化;作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,*△BED≌△CFD,得到BD=DC.即点D是BC边的中点;
(3)AB,AC,AD之间的数量关系为AC2+AB2=4AD2.如图2,延长AD到点H使DH=AD,连接HC.*△ABD≌△HCD,得到∠1=∠3,AB=CH.再*∠ACH=90°,得到AC2+CH2=AH2.由DH=AD,得到AC2+AB2=(2AD)2.即可解答.
【解答】解:(1)∵点D为BC边的中点,
∴BD=CD,
故*为:点D为线段BC的中点;
(2)点D的位置没有发生变化,
*:如图1,作BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,
∵BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,
∴∠3=∠4=90°,
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD.
∴BD=DC.即点D是BC边的中点.
(3)AB,AC,AD之间的数量关系为AC2+AB2=4AD2.
*:如图2,延长AD到点H使DH=AD,连接HC.
∵点D是BC边的中点,
∴BD=DC.
在△ABD和△HCD中,
∴△ABD≌△HCD.
∴∠1=∠3,AB=CH.
∵∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠ACH=90°.
∴AC2+CH2=AH2.
又∵DH=AD,
∴AC2+AB2=(2AD)2.
∴AC2+AB2=4AD2.
【点评】本题考查了全等三角形的*质定理与判定定理、勾股定理的应用,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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