如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求*：AC...

问题详情：

如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．

（1）求*：AC是⊙O的切线；

（2）若BD=，BE=1．求*影部分的面积．

【回答】

【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的*质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的*质得OD⊥AB，然后利用角平分线的*质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用*影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．

【解答】（1）*：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，

∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF=OD，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，

∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，

∴OD=1，OB=2，

∴∠B=30°，∠BOD=60°，

∴∠AOD=30°，

在Rt△AOD中，AD=OD=，

∴*影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF

=2××1×﹣

=﹣．

【点评】本题考查了切线的判定与*质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的*质．

知识点：各地中考

题型：解答题