已知函数，（，）．（1）当时，①若函数与在处的切线均为，求的值；②若曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围；（...

问题详情：

已知函数，（，）．

（1）当时，

① 若函数与在处的切线均为，求的值；

② 若曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围；

（2）当时，设，若函数存在两个不同的零点

求*：． 

【回答】

解：（1）当时，，所以，．

    ① 由题意，切线的斜率，即，所以．   …… 2分

② 设函数，．

“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有

一个零点”．

     求导，得．

（ⅰ）当时，由，得，所以函数在单调递减．

     因为，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．  …… 5分

（ⅱ）当时，，

当变化时，与的变化情况列表如下：

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，．

注意到，且，

若，则，所以函数有且仅有一个零点1，符合题意．

若，取 ，，

所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．

若，取，

由于，

所以函数存在两个零点，一个为1，另一个在，与题意不符．

综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的取值范围是

或．                                              …… 9分

（2）当时，．

因为，所以，

即．

令，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以在处有极大值，所以．

令，，                       …… 12分

则，

所以在上单调递增，从而，

所以，

而在上递减，且，

所以，即．                           …… 16分

知识点：基本初等函数I

题型：解答题