如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）*：BE...

问题详情：

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）*：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

【回答】

（1）*见解析；（2）

【分析】

（1）利用长方体的*质，可以知道侧面，利用线面垂直的*质可以*出，这样可以利用线面垂直的判定定理，*出平面；

（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.

【详解】

*（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为，所以，

所以，，

设是平面的法向量，

所以，

设是平面的法向量，

所以，

二面角的余弦值的绝对值为，

所以二面角的正弦值为.

【点睛】

本题考查了利用线面垂直的*质定理*线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题