如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求*：EF∥平面A...

问题详情：

如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DDDB的中点．

(1)求*：EF∥平面ABC1D1；

(2)求*：EF⊥B1C；

(3)求三棱锥B1－EFC的体积．

【回答】

解：(1)*：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EF∥D1B.又EF⊄平面ABC1D1，D1B⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.

(2)*：由题易得B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，

∴B1C⊥平面ABC1D1，又BD1⊂平面ABC1D1，

∴B1C⊥BD1，又EF∥BD1，

∴EF⊥B1C.

(3)∵CF⊥BD，CF⊥BB1，BD∩BB1＝B，

∴CF⊥平面BDD1B1，

即CF⊥平面EFB1，

又易得CF＝BF＝，BD1＝2，

∴EF＝BD1＝，

∴B1F＝＝＝，

B1E＝＝ ＝3，

∴EF2＋B1F2＝B1E2，

故∠EFB1＝90°，

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题