已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为．（1）求圆F的方程；（2）若动圆M与圆F相...

问题详情：

已知圆F的圆心坐标为（1，0），且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为．

（1）求圆F的方程；

（2）若动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，求动圆圆心M的轨迹方程；

（3）直线L与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点，且•=﹣4，试问直线L 是否过一定点，若过则求出该定点．

【回答】

解：（1）设圆F的方程为（x﹣1）2+y2=r2，r＞0，

由圆心到直线x+y﹣2=0的距离为d==，

由弦长公式可得=2，解得r=1，

可得圆F的方程为（x﹣1）2+y2=1；

（2）设M的坐标为（x，y），由动圆M与圆F相外切，又与y轴相切，

可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1，

即为M到点F的距离比它到直线x=﹣1的距离相等，

由抛物线的定义，可得动圆圆心M的轨迹方程为y2=4x；

（3）*：设l：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得

y2﹣4ty﹣4b=0设A（x1，y1），B（x2，y2）

则y1+y2=4t，y1y2=﹣4b，

∴•=x1x2+y1y2=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2

=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2

=﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b

令b2﹣4b=﹣4，∴b2﹣4b+4=0∴b=2．

∴直线l过定点（2，0）．

知识点：圆与方程

题型：解答题