某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道...

问题详情：

某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损)

(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数.

(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?

【回答】

【解析】(1)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12).

(2)由(1)知,y′==

当4≤x<6时,y′>0,函数在[4,6]上为增函数;当6<x≤12时,y′<0,函数在[6,12]上为减函数,

所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值,最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元)

答:当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大,最大利润为96ln6-78万元.

知识点：导数及其应用

题型：解答题