如图，在矩形ABCD中，AD=10，E为AB上一点，且AE=AB=a，连结DE，F是DE中点，连结BF，以BF...

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如图，在矩形ABCD中，AD=10，E为AB上一点，且AE= AB=a，连结DE，F是DE中点，连结BF，以BF为直径作⊙O．

（1）用a的代数式表示DE2=________，BF2=________；

（2）求*：⊙O必过BC的中点；

（3）若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时，求a的值；

（4）作A关于直线BF的对称点A′，若A′落在矩形ABCD内部（不包括边界），则a的取值范围________．（直接写出*）

【回答】

（1）a2+100；（2）*：如图1，设⊙O交BC于H，连接FH， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠BHF=90°， ∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°， ∴四边形BGFH是矩形， ∴BH=GF= AD= BC， ∴H是BC的中点，即：⊙O必过BC的中点（3）解：分两种情况： ①如图2，当⊙O与边CD相切时，设切点为M，连接OM、FH交于N，则OM⊥CD， ∴OM=ON+MN= +5= ， ∵OM⊥FH， ∴NF= FH= × = a， Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2=OM2 ， ∴ +（）2= ， a= ， ∵a＞0， ∴a= ， ②如图3，当⊙O与边AD相切时，设切点为Q，连接OQ，则OQ⊥AD，连接FG，交OQ于P， ∴OQ=OP+PQ= BG+AG= + = a，由（1）知：且BF=2OQ， ∴25+ a2=（2× a）2 ， a= ，综上所述，若⊙O与矩形ABCD各边所在的直线相切时，a的值为或（4）＜a＜【考点】线段垂直平分线的*质，勾股定理，矩形的*质，圆的综合题，轴对称的*质【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，在Rt△AED中，AE=a，AD=10，由勾股定理得：ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100，设⊙O交AB于G，连接FG， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠BGF=90°， ∵∠A=90°， ∴∠BGF=∠A， ∴FG∥AD， ∵F是ED的中点， ∴GF= AD=5，EG=AG= a， ∵AE= AB=a， ∴AB=4a， ∴BG=4a﹣ a= a，由勾股定理得：BF2=BG2+GF2 ， ∴BF2= +52= +25= ，故*为：a2+100；； ⑷如图4，当A的对称点A′恰好在边BD上时，连接AA′交BF于H，连接AF、A′F，过F作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，则MN⊥AD， ∵A关于直线BF的对称点A′， ∴BF是AA′的垂直平分线， ∴AF=A′F，AB=A′B=4a，由（1）（2）得：FN= a，FM= a，A′M=4a﹣5，AN=5，由勾股定理得： =（4a﹣5）2+ ，解得：a1=0（舍），a2= ， ∴当a＜时，A′落在矩形ABCD外部（包括边界），如图5，当A′落在边CD上时，连接AA′、A′B，过F作MG⊥AB，则MG⊥CD，设*线BF交AD于N，易得A′G=AM=DG= a，A′C=3a， ∵BF是AA′的垂直平分线， ∴AB=A′B，则（4a）2=102+（3a）2 ， a= ， ∴a的取值范围是：＜a＜，故*为：＜a＜．【分析】（1）根据勾股定理得ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100，再Rt△BGF中，由勾股定理得由勾股定理得：BF2=BG2+GF2 ，代入即可得结果；（2）*四边形BGFH是矩形，得BH=GF= AD= BC，所以⊙O必过BC的中点；（3）因为不可能与边AB和BC相切，所以分两种情况：①如图2，当⊙O与边CD相切时，设切点为M，连接OM、FH交于N，则OM⊥CD，Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2=OM2 ，列式 ( ) 2 +（ a ）2= ( ) 2 ，求a的值；②如图3，当⊙O与边AD相切时，设切点为Q， B F 2 = 25 + a 2 且BF=2OQ，列式可得结论；（4）如图4，当A的对称点A′恰好在边BD上时，连接AA′交BF于H，连接AF、A′F，过F作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，则MN⊥AD，分别计算当a最小和最大时，即A′在边BC上和边CD上,根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的*质列式可得结论。