如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连结BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内...
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如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连结BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设=n.
(1)求*:AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
【回答】
解:设AE=a,则AD=na,
(1)由对称知,AE=FE,
∴∠EAF=∠EFA,
∵GF⊥AF,
∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,
∴∠FGA=∠EFG,
∴EG=EF,
∴AE=EG;
(2)如图1,当点F落在AC上时,
由对称知,BE⊥AF,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠DAC,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DAC,
∴,∵AB=DC,
∴AB2=AD•AE=na2,
∵AB>0,
∴AB=a,
∴;
(3)若AD=4AB,则AB=a,
如图2,当点F落在线段BC上时,EF=AE=AB=a,此时a=a,
∴n=4,
∴当点F落在矩形内部时,n>4,
∵点F落在矩形内部,点G在AD上,
∴∠FCG<∠BCD,
∴∠FCG<90°,
①当∠CFG=90°时,
如图3,则点F落在AC上,
由(2)得,,
∴n=16,
②当∠CGF=90°时,则∠CGD+∠AGF=90°,
∵∠FAG+∠AGF=90°,
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE∽△DGC,
∴,
∴AB•DC=DG•AE,
∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=(n﹣2)a,
∴(a)2=(n﹣2)a•a,
∴n=8+4或n=8﹣4(舍),
∴当n=16或n=8+4时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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