直角三角形有一个非常重要的*质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90...

问题详情：

直角三角形有一个非常重要的*质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=AB．请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题：

如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

（1）求*：PM=PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予*：若不成立，请说明理由；

（3）如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求*：PM⊥PN．

【回答】

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G．只要*△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可*．

（2）结论：PM=PN．延长NP交BM于G，*方法类似（1）．

（3）如图4中，延长NP交BM于G．先*△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再*△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因为AN=CM，所以MG=MN，即可*PM⊥PN．

【解答】（1）*：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BG∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中，

，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（2）解：结论：PM=PN．

如图3中，延长NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BM∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中，

，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（3）如图4中，延长NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠EAN=∠ACM，

在△EAN和△CAM中，

，

∴△EAN≌△CAM，

∴EN=AM，AN=CM，

∵EN∥CG，

∴∠ENP=∠CGP，

在△ENP和△CGP中，

，

∴△ENP≌△CGP，

∴EN=CG=AM，PN=PG，

∵AN=CM，

∴MG=MN，

∴PM⊥PN．

【点评】本题考查几何变换综合题、直角三角形斜边中线*质、全等三角形的判定和*质、平行线的*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

知识点：三角形全等的判定

题型：综合题