定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是C...

问题详情：

定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．

（1）设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出的值为　   　；

（2）若∠AED=∠DCB，求*：△BDF是“潜力三角形”；

（3）若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．

【回答】

（1）解：分两种情况：

①当=时， =2；

②设另一条直角边长为b，当=时，b=2a，

∵∠B=90°，

∴c==a，

∴=；

故*为：2或；

（2）*：延长AE交BC于G，如图所示：

∵DF∥AE，D是AB的中点，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中点，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴=，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潜力三角形”；

（3）解：延长AE交BC于G，如图所示．

分四种情况：

①当=时，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC===5；

②当=2时，DF=2BF=2，

∴BD===，

∴AB=2BD=2，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

③当=时，BD=BF=，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

④当=时，

设BD=x，则DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x=，

∴AB=2BD=，[来源:Z§xx§]

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

综上所述：若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，线段AC的长为5或或或．

知识点：勾股定理

题型：解答题