如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜9...

问题详情：

如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．

（1）①依题意补全图2；

②求*：AD=BE，且AD⊥BE；

③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；

（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

【回答】

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）①根据旋转的特*画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即*出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；

（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．

【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．

②*：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DC=EC．

在△ADC和△BEC中，有，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．

∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，

∴AD⊥BE．

③依照题意画出图形，如图（二）所示．

∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，

即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），

∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．

∵△CDE为等腰直角三角形，

∴DE=2CM，

∴AE﹣BE=2CM．

（2）依照题意画出图形（三）．

其中AB=，DP=1，BD=AB=

由勾股定理得：BP==3．

结合（1）③的结论可知：

AM===1．

故点A到BP的距离为1．

【点评】本题考查了旋转的*质、全等三角形的判定及*质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）①结合题意画出图形；②找出△ADC≌△BEC；③利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）③的算式求出结论．本题属于中档题，（1）①②难度不大；③难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段AC当成已知量；（2）利用类比的方法套入（1）③的算式即可．解决该题型题目时，画出图形，注意数形结合是关键．

知识点：勾股定理

题型：综合题