如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)*:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形...
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如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)*:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【回答】
(1)见解析;(2)1:1.
【解析】
试题分析:(1)取的中点,由等腰三角形及等边三角形的*质得,,再根据线面垂直的判定定理得平面,即得AC⊥BD;(2)先由AE⊥EC,结合平面几何知识确定,再根据锥体的体积公式得所求体积之比为1:1.
试题解析:
(1)取AC的中点O,连结DO,BO.
因为AD=CD,所以AC⊥DO.
又由于是正三角形,所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.
(2)连结EO.
由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.
在中,.
又AB=BD,所以
,故∠DOB=90°.
由题设知为直角三角形,所以.
又是正三角形,且AB=BD,所以.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
【名师点睛】垂直、平行关系*中应用转化与化归思想的常见类型:
(1)*线面、面面平行,需转化为*线线平行.
(2)*线面垂直,需转化为*线线垂直.
(3)*线线垂直,需转化为*线面垂直.
知识点:空间几何体
题型:解答题
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