四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、C...

问题详情：

四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠ACH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交与点P．

（1）求*：四边形ADCH是平行四边形；

（2）若AC＝BC，PB＝PD，AB+CD＝2（+1）

①求*：△DHC为等腰直角三角形；

②求CH的长度．

【回答】

【解答】*：（1）∵∠DBC＝∠DAC，∠ACH＝∠CBD

∴∠DAC＝∠ACH

∴AD∥CH，且AD＝CH

∴四边形ADCH是平行四边形

（2）①∵AB是直径

∴∠ACB＝90°＝∠ADB，且AC＝BC

∴∠CAB＝∠ABC＝45°，

∴∠CDB＝∠CAB＝45°

∵AD∥CH

∴∠ADH＝∠CHD＝90°，且∠CDB＝45°

∴∠CDB＝∠DCH＝45°

∴CH＝DH，且∠CHD＝90°

∴△DHC为等腰直角三角形；

②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，

∴∠ADP＝∠PBC，且∠P＝∠P

∴△ADP∽△CBP

∴，且PB＝PD，

∴，AD＝CH，

∴

∵∠CDB＝∠CAB＝45°，∠CHD＝∠ACB＝90°

∴△CHD∽△ACB

∴

∴AB＝CD

∵AB+CD＝2（+1）

∴CD+CD＝2（+1）

∴CD＝2，且△DHC为等腰直角三角形

∴CH＝

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和*质，相似三角形的判定和*质等知识，求CD的长度是本题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题