（2019·四川中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD...

问题详情：

（2019·四川中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．

（1）求*：PD是⊙O的切线；

（2）求*：△ABD∽△DCP；

（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．

【回答】

（1）*见解析；（2）*见解析；（3）CP=16.9cm．

【解析】

（1）如图，连接OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAD，

∵∠BOD=2∠BAD，

∴∠BOD=∠BAC=90°，

∵DP∥BC，

∴∠ODP=∠BOD=90°，

∴PD⊥OD，

∵OD是⊙O半径，

∴PD是⊙O的切线；

（2）∵PD∥BC，

∴∠ACB=∠P，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠ADB=∠P，

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，

∴∠DCP=∠ABD，

∴△ABD∽△DCP；

（3）∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC=∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，BC==13cm，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴BD=CD，

在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，

∴BD=CD=BC=，

∵△ABD∽△DCP，

∴，

∴，

∴CP=16.9cm．

【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与*质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与*质定理是解题的关键.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题