已知椭圆E： +=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积...

问题详情：

已知椭圆E： +=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．

（Ⅰ）求直线PA与PB的斜率乘积的值；

（Ⅱ）设Q（t，0）（t≠），过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【考点】椭圆的简单*质．

【专题】计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、*质与方程．

【分析】（Ⅰ）由题意知．设点P（x，y）（y≠0），从而可得，从而解得．

（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；再设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），联立化简可得（2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0，从而利用韦达定理可得y1+y2=﹣，y1y2=；化简•=（x1+，y1）（x2+，y2）=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2，代入化简可得5t2+6t+3=0，从而解得．

【解答】解：（Ⅰ）．设点P（x，y）（y≠0），

则有，

即，

∴=．

（Ⅱ）假设存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A；

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∵MN与x轴不重合，

∴设直线MN的方程为x=ay+t，（a∈R），

由化简得，

（2a2+3）y2+4aty+2t2﹣6=0，

由题意可知△＞0成立，且y1+y2=﹣，y1y2=；

•=（x1+，y1）（x2+，y2）

=（ay1+t+，y1）（ay2+t+，y2）

=（ay1+t+）（ay2+t+）+y1y2

=a2y1y2+（+t）a（y1+y2）+（+t）2+y1y2

将y1+y2=﹣，y1y2=代入上式可得，

•=a2﹣（+t）a+（+t）2+=0，

即=0，

即a2（2t2﹣6﹣4t﹣4t2+2t2+4t+6）+2t2﹣6+3（+t）2=0，

即5t2+6t+3=0，

解得，t=﹣（舍去）或t=﹣．

故t=﹣．

【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，同时考查了平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算的能力．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题