如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥AD于点F,OF=2cm,AE⊥BD于点E,且BE﹕BD=1﹕...
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如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥AD于点F,OF=2cm,
AE⊥BD于点E,且BE﹕BD=1﹕4,求AC的长.
【回答】
解法一:∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=90°,OB=OD,AC=BD,又∵OF⊥AD,∴OF∥AB,又∵OB=OD ,∴ AB=2OF=4cm,
∵BE︰BD=1︰4,∴BE︰ED=1︰3 ……………………3分
设BE=x,ED=3 x ,则BD=4 x ,∵AE⊥BD于点E
∴,∴16-x2=AD2-9x2………………6分
又∵AD2=BD2-AB2=16 x2-16 ,∴16-x2=16 x2-16-9x2,8 x2=32
∴x2=4,∴x=2 ……………………9分
∴BD=2×4 =8(cm),∴AC=8 cm . ……………………10分
解法二:在矩形ABCD中,BO=OD=BD,∵BE︰BD=1︰4,∴BE︰BO=1︰2,
即E是BO的中点 ……………………3分
又AE⊥BO,∴AB=AO,
由矩形的对角线互相平分且相等,∴AO=BO ……………………5分
∴△ABO是正三角形,
∴∠BAO=60°,∴∠OAD=90°-60°=30° ……………………8分
在Rt△AOF中,AO=2OF=4,∴AC=2AO=8 ……………………10分
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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