如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（1）求*：△CDF...

问题详情：

如图所示，半圆O的直径AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．

（1）求*：△CDF≌△BDE；

（2）当AD＝　   　时，四边形AODC是菱形；

（3）当AD＝　   　时，四边形AEDF是正方形．

【回答】

【解答】（1）*：∵＝，

∴∠CAD＝∠BAD，又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE＝DF，

∵＝，

∴BD＝CD，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）四边形AODC是菱形时，OD＝CD＝DB＝OB，

∴∠DBA＝60°，

∴AD＝ABcos∠DBA＝4sin60°＝2，

故*为：2；

（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，

由勾股定理，得

AD＝＝2，

故*为：2．

【点评】本题考查的是角平分线的*质、圆周角定理、全等三角形的判定和*质以及等边三角形的判定和*质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和*质定理、圆周角定理是解题的关键．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题