二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3）...

问题详情：

二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=﹣和直线y=x+m的交点．

（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；

（2）试*无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；

（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．

【回答】

【解答】解：（1）把D（0，﹣3）坐标代入直线y=x+m中，

得m=﹣3，从而得直线y=x﹣3，

由M为直线y=﹣与直线y=x﹣3的交点，[来源:]

得，

解得，，

∴得M点坐标为M（2，﹣1），

∵M为二次函数y=x2+px+q的顶点，

∴其对称轴为x=2，

由对称轴公式：x=﹣，得﹣=2，

∴p=﹣4；

由=﹣1，

=﹣1，

解得，q=3．

∴二次函数y=x2+px+q的解析式为：y=x2﹣4x+3；

（2）∵M是直线y=﹣和y=x+m的交点，

∴，

解得，，

∴M点坐标为M（﹣，），

∴﹣=﹣、=，

解得，p=，q=+，

由，得x2+（p﹣1）x+q﹣m=0，

△=（p﹣1）2﹣4（q﹣m）

=（﹣1）2﹣4（+﹣m）=1＞0，

∴二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；

（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3，

当x=0时，y=3．

∴点C的坐标为C（0，3），

令y=0，即x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3，

∴点A的坐标为A（3，0），

由勾股定理，得AC=3．

∵M点的坐标为M（2，﹣1），

过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0），

由勾股定理得，AM=，

过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0，﹣1），

由勾股定理，得CM===2．

∵AC2+AM2=20=CM2，

∴△CMA是直角三角形，

CM为斜边，∠CAM=90°．

直线y=﹣与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，

则∠CPM=90°．即△CPM为Rt△，

设P点的横坐标为x，则P（x，﹣）．过点P作x轴垂线，

过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E（x，﹣1）．

过P作PF⊥y轴于点F，则F（0，﹣）．

在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2

=（﹣+1）2+（2﹣x）2=﹣5x+5．

在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2=x2+（3+）2

=+3x+9．

在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，

得+3x+9+﹣5x+5=20，

化简整理得5x2﹣4x﹣12=0，

解得x1=2，x2=﹣．

当x=2时，y=﹣1，即为M点的横、纵坐标．

∴P点的横坐标为﹣，纵坐标为，

∴P（﹣，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题