已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列...

问题详情：

已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①a﹣b+c≥0；②2ac﹣b=0；③关于x的方程ax2+bx+c+3=0无实数根；④的最小值为3．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个  C．3个 D．4个

【回答】

D【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在x轴的负半轴上，

∴图象开口向上，当x=﹣1时，y≥0，即a﹣b+c≥0，故①正确；

∵OA=OB，

∴=c，

∴2ac﹣b=0，故②正确；

∵抛物线y=ax2+bx+c≥0，

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣3无交点，

∴方程ax2+bx+c+3=0无实数根，故③正确；

可知a＜0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知当x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②错误；

由图象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正确；

假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一个根为x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

综上可知正确的结论有4个，

故选：D．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：选择题