方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成*A.(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;(2)当...

问题详情：

方程ax2+2x+1=0,a∈R的根构成*A.

(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;

(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.

【回答】

解(1)A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.

①当a=0时,方程的根为x=-;

②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x1=x2=-1.

综上可知,当a=0时,*A中的元素为-;

当a=1时,*A中的元素为-1.

(2)A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根.

①当方程有两个不相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a≠0;

②当方程有两个相等的实根时,a≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;

③当方程有一个实根时,a=0,

此时2x+1=0,得x=-,符合题意.

由①②③可知,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≤1.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题