如图，抛物线y=a（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求...

问题详情：

如图，抛物线y=a（a0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

	(第25题图)

 

【回答】

解：（1）由题可知当y=0时，a =0

解得：x1=1，x2=3

则A（1,0），B（3,0）于是OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC  ∴OC∶OB=OA∶OC …………………2分                                  

∴OC2=OA•OB=3即OC=……………………………3分

（2）因为C是BM的中点

∴OC=BC从而点C的横坐标为

又OC=，点C在x轴下方∴C…………………5分

设直线BM的解析式为y=kx+b，

(第25题*图1)

因其过点B（3，0），C，

则有

∴，

∴……………………5分

又点C在抛物线上,代入抛物线解析式，

解得a=……………………6分

∴抛物线解析式为：……………………7分

（3）点P存在.……………………8分

设点P坐标为（x，），过点P作PQx轴交直线BM于点Q，

则Q（x,）,

PQ=……………………9分

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大

   

……………………10分

当时，有最大值，四边形ABPC的面积最大，…11分

此时点P的坐标为

知识点：各地中考

题型：解答题