如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．（Ⅰ）求...

问题详情：

如图，在四棱锥

中，底面

是矩形，

平面

，

，点

、

分别在线段

、

上，且

，其中

，连接

，延长

与

的延长线交于点

，连接

．

（Ⅰ）求*：

平面

；

（Ⅱ）若

时，求二面角

的正弦值；

（Ⅲ）若直线

与平面

所成角的正弦值为

时，求

值．

【回答】

（Ⅰ）*见解析；（Ⅱ）

；（Ⅲ）

.

【分析】

（Ⅰ）在线段

上取一点

，使得

，

，*四边形为平行四边形，得到

，然后*

平面

．

（Ⅱ）以

为坐标原点，分别以

，

，

为

，

，

轴建立空间直角坐标系，求出平面

的一个法向量，平面

的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角

的正弦值．

（Ⅲ）令

，

，

，

，

，求出平面

的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．

【详解】

（Ⅰ）在线段

上取一点

，使得

，

，

且

，

，

，

且

，

且

，

四边形为平行四边形，

，

又

平面

，

平面

，

平面

．

（Ⅱ）以

为坐标原点，分别以

，

，

为

，

，

轴建立空间直角坐标系

，0，

，

，0，

，

，2，

，

，2，

，

，0，

，

，

，1，

，

，0，

设平面

的一个法向量为

，

，

，

，令

，

，

，

设平面

的一个法向量为

，

，

，

，

令

，

，

，

，

，

，

二面角

的正弦值为

．

（Ⅲ）令

，

，

，

，

，

设平面

的一个法向量为

，

，

，

，令

，

，

由题意可得：

，

，

，

．

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题