如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:4=22-02,12=42-22...
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如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.
(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
【回答】
解: (1)因为28=82-62;2 012=5042-5022,所以28和2 012是神秘数.
(2)因为(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),所以由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.
(3)由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数,设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),而(2k+1)2-(2k-1)2=8k,即两个连续奇数的平方差不是神秘数.
知识点:因式分解
题型:解答题
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