如图,在高为的等腰梯形中,,且,,将它沿对称轴折起,使平面平面,如图,点为的中点,点在线段上(不同于,两点),...
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如图,在高为的等腰梯形中,,且,,将它沿对称轴折起,使平面平面,如图,点为的中点,点在线段上(不同于,两点),连接并延长至点,使.
(1)*:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【回答】
(1)*见解析;(2).
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,把*平面的问题转化为*,即可;(2)求出平面的法向量为和平面的一个法向量为,把求二面角的余弦值的问题转化为求与的夹角的余弦值的问题即可.
【详解】(1)*:由题设知,,两两垂直,所以为坐标原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设的长为,
则,,,
,,).
因为点为的中点,所以,
所以,,.
因为,,
所以,,又与不共线,
所以平面.
(2)解 因为,,所以,
则,所以,.
设平面的法向量为,
由得
令,则,,.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为,由图可知,为锐角,
则,
即二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识*线面垂直及求二面角的平面角问题,求出平面的法向量是解决问题的关键,属常规考题.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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