中文谷设函数（）．（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值...
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问题详情：
设函数
（
）．
（Ⅰ）若
在
处取得极值，求实数
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若
在
上为减函数，求实数
的取值范围.
【回答】
.解：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝
＝
.
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
当a＝0时，f(x)＝
，f′(x)＝
，由f′(x)>0，0<x<2
f′(x)<0有x<0或x>2,故 a=0时
在
处取得极值
f(1)＝
，f′(1)＝
，
从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－
＝(x－1)，化简得3x－ey＝0. …… 6分
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0，
解得x1＝
，x2＝
.
当x<x1时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数；
当x1<x<x2时，g(x)>0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；
当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，
知x2＝
≤3，解得a≥－
.
故a的取值范围为
. …… 12分
知识点：导数及其应用
题型：解答题
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