如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最...

问题详情：

如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．

【回答】

2π

【解析】

【分析】

设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．

【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；

则h2+r2＝R2＝3；

所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；

则V′（h）＝π（3﹣3h2），

令V′（h）＝0，解得h＝1；

所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；

h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；

所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．

故*为：2π．

【点睛】本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．

知识点：空间几何体

题型：填空题