如图,正方形ABCD中,E为BC中点连接AE,DF⊥AE于点F,连接CF,FG⊥CF交AD于点G,下列结论:①...
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如图,正方形ABCD中,E为BC中点连接AE,DF⊥AE于点F,连接CF,FG⊥CF交AD于点G,下列结论:①CF=CD;②G为AD中点;③△DCF∽△AGF;④,其中结论正确的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D
【解析】
如图,作CM⊥DF于M.首先*△DAF≌△CDM,推出DM=AF,再*DF=2AF,推出DM=MF,推出CD=CF,再*∠GDF=∠GFD,推出GD=GF,再*GF=GA即可*GA=GD,由此即可一一判断.
【详解】
如图,作CM⊥DF于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∴DAB=∠B=∠ADC=90°,
∵∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠DCM=90°,
∴∠ADF=∠DCM,
∵DF⊥AE,CM⊥DF,
∴∠AFD=∠CMD=90°,
∴△DAF≌△CDM,
∴CM=DF,DM=AF,
∵∠ADF+∠DAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠ADF,
∵BE=CE,
∴AB=2BE,
∴tan∠BAE=tan∠ADF=,
∴,
∴DM=MF,∵CM⊥DF,
∴CD=CF,故①正确,
∴∠CDF=∠CFD,
∵∠CDG=∠CFG=90°,
∴∠GFD=∠GDF,
∴GF=GD,
∵∠GDF+∠DAF=90°,∠GFD+∠AFG=90°,
∴∠GAF=∠GFA,
∴GF=GA,
∴GD=GA,
∴G是AD中点,故②正确,
∵∠AFD=∠GFC,
∴∠AFG=∠CFD,∠GAF=∠CDF,
∴△DCF∽△AGF,故③正确,
设AF=a,则DF=2a,AB=a,BE=a,
∴AE=a,EF=a,
∴,故④正确,
故选D.
【点睛】
本题考查正方形的*质、全等三角形的判定和*质、锐角三角函数、相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题
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