如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． （1）求*：△BFG≌△CDG； （2）若AD=BE=2，求BF的长．

【回答】

*：（1）∵C是的中点， ∴， ∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB， ∴， ∴， ∴CD=BF， 在△BFG和△CDG中， ∵， ∴△BFG≌△CDG（AAS）； （2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC， ∵， ∴∠HAC=∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH=CE， ∵AC=AC， ∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE=AH， ∵CH=CE，CD=CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH=BE=2， ∴AE=AH=2+2=4， ∴AB=4+2=6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BEC=90°， ∵∠EBC=∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴， ∴BC2=AB•BE=6×2=12， ∴BF=BC=2． 【解析】

（1）根据AAS*：△BFG≌△CDG； （2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，*Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE=AH，再*Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH=BE=2，计算AE和AB的长，*△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长． 此题考查了相似三角形的判定与*质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的*质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

知识点：各地中考

题型：解答题