已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.(1)如图1,如果AC=BD,求弦A...
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已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.
(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;
(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;
(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.
【回答】
(1)AC=;(2)cot∠ABD=;(3)S△ACD=.
【解析】
(1)由AC=BD知 ,得,根据OD⊥AC知,从而得,即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,利用AF=AOsin∠AOF可得*;
(2)连接BC,设OF=t,*OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t,由DF=1﹣t可得t=,即可知BC=DF=,继而求得EF=AC=,由余切函数定义可得*;
(3)先求出BC、CD、AD所对圆心角度数,从而求得BC=AD=、OF=,从而根据三角形面积公式计算可得.
【详解】(1)∵OD⊥AC,
∴,∠AFO=90°,
又∵AC=BD,
∴,即,
∴,
∴,
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,
∵AB=2,
∴AO=BO=1,
∴AF=AOsin∠AOF=1×=,
则AC=2AF=;
(2)如图1,连接BC,
∵AB为直径,OD⊥AC,
∴∠AFO=∠C=90°,
∴OD∥BC,
∴∠D=∠EBC,
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC,
∴△DEF≌△BEC(ASA),
∴BC=DF、EC=EF,
又∵AO=OB,
∴OF是△ABC的中位线,
设OF=t,则BC=DF=2t,
∵DF=DO﹣OF=1﹣t,
∴1﹣t=2t,
解得:t=,
则DF=BC=、AC==,
∴EF=FC=AC=,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠D,
则cot∠ABD=cot∠D=;
(3)如图2,
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,
∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=,
则+2×=180,
解得:n=4,
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°,
∴BC=AC=,
∵∠AFO=90°,
∴OF=AOcos∠AOF=,
则DF=OD﹣OF=1﹣,
∴S△ACD=AC•DF=××(1﹣)=.
【点睛】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等,综合*较强,有一定的难度,熟练掌握和灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与*质、正多边形与圆等知识是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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