如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．

（1）求⊙O的半径；

（2）求图中*影部分的面积．

【回答】

（1）；（2）π﹣．

【分析】

（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO＝AO＝OE，根据勾股定理列方程求解．

（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．

【详解】

解：（1）连接OF，

∵直径AB⊥DE，

∴CE＝DE＝1．

∵DE平分AO，

∴CO＝AO＝OE．

设CO＝x，则OE＝2x．

由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．

x＝．

∴OE＝2x＝．

即⊙O的半径为．

（2）在Rt△DCP中，

∵∠DPC＝45°，

∴∠D＝90°﹣45°＝45°．

∴∠EOF＝2∠D＝90°．

∴S扇形OEF＝＝π．

∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝

SRt△OEF＝＝．

∴S*影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣．

【点睛】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．

知识点：圆的有关*质

题型：解答题