如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C,过点B作BD⊥MN于点D.(1)求*:∠AB...
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如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,直线MN与⊙O相切于点C,过点B作BD⊥MN于点D.
(1)求*:∠ABC=∠CBD;(2)若BC=4,CD=4,则⊙O的半径是 .
【回答】
(1)见解析;(2)5.
【分析】
(1)连接OC,由切线的*质可得OC⊥MN,即可*得OC∥BD,由平行线的*质和等腰三角形的*质可得∠CBD=∠BCO=∠ABC,即可*得结论;
(2)连接AC,由勾股定理求得BD,然后通过*得△ABC∽△CBD,求得直径AB,从而求得半径.
【详解】
(1)*:连接OC,
∵MN为⊙O的切线,
∴OC⊥MN,
∵BD⊥MN,
∴OC∥BD,
∴∠CBD=∠BCO.
又∵OC=OB,
∴∠BCO=∠ABC,
∴∠CBD=∠ABC.;
(2)解:连接AC,
在Rt△BCD中,BC=4,CD=4,
∴BD==8,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴,即,
∴AB=10,
∴⊙O的半径是5,
故*为5.
【点睛】
本题考查了切线的*质和圆周角定理、三角形相似的判定和*质以及解直角三角形,作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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