在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE＝2，FG⊥AE交DC于G，将GF...

问题详情：

在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，连接AE，点F为AE上一点，FE＝2，FG⊥AE交DC于G，将GF绕着G点逆时针旋转使得F点正好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG交AB于N点，交AE于M点，则S△MNF＝　   　．

【回答】

解：过B作BP⊥AE于P，

∵正方形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，

∴BE＝BC＝2，

∴AE＝＝10，

∴BP＝＝＝4，

∴PE＝＝＝2，

∴EF＝EP，

∴F与P重合，

∴B，F，G共线，

过F作OS⊥DC，交AB于O，DC于S，则OS⊥AB，

过F作FQ⊥BC于Q，

sin∠FBE＝＝，＝，

∴FQ＝，

∴BQ＝，

易得矩形OFQB，

∴FO＝BQ＝，

∴FS＝4﹣＝，AO＝AB﹣OB＝4﹣＝，

∵GF⊥AE，

∴∠AFG＝90°，

∴∠GFS+∠AFH＝∠AFH+∠FAH，

∴∠GFS＝∠FAB，

∴tan∠FAB＝tan∠GFS＝＝，

∴＝，

∴GS＝，

∴DG＝DS﹣GS＝AO﹣GS＝﹣＝2，

∵GH＝GF，

∴DH2+DG2＝GS2+FS2，

∴DH2+（2）2＝（）2+（）2，

∴DH＝4，

∴AH＝4﹣4，

tan∠ANH＝tan∠DHG＝＝，

＝，

AN＝，

过M作MR⊥AB于R，

设MR＝x，则AR＝2x，

tan∠ANH＝tan∠DHG＝＝，

∴＝，

∴RN＝，

由AR+RN＝AN得：2x+＝，

x＝6﹣2，

∴MR＝6﹣2，

∴S△MNF＝S△ANF﹣S△AMN＝AN•FO﹣AN•MR＝AN（FO﹣MR）＝××（﹣6+2）＝．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：填空题