偶函數f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求...

問題詳情：

偶函數f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求y=f(x)的解析式.

【回答】

【解析】因為f(x)的圖象過點P(0,1),

所以e=1.

又因為f(x)為偶函數,

所以f(-x)=f(x).

故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.

所以b=0,d=0.

所以f(x)=ax4+cx2+1.

因為函數f(x)在x=1處的切線方程為y=x-2,

所以可得切點為(1,-1),

所以a+c+1=-1.　①

因為f′(1)=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,

所以4a+2c=1.　②

由①②聯立得a=,c=-,

所以函數y=f(x)的解析式為f(x)=x4-x2+1.

知識點：導數及其應用

題型：解答題