已知函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3. (1)求f(...
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問題詳情:
已知函數f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3.
(1) 求f(x)的解析式;
(2) 求過點A(2,2)的切線方程.
【回答】
(1)解:函數f(x)=ax3+bx2+cx的導數為f'(x)=3ax2+2bx+c, 依題意 , 又f'(0)=﹣3即c=﹣3 ∴a=1,b=0, ∴f(x)=x3﹣3x (2)解:設切點為(x0 , x03﹣3x0), ∵f'(x)=3x2﹣3∴切線的斜率為f'(x0)=3x02﹣3, ∴切線方程為y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0), 又切線過點A(2,2), ∴2﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(2﹣x0), ∴2x03﹣6x02+8=0,即為2(x0+1)(x0﹣2)2=0, 解得x0=﹣1或2, 可得過點A(2,2)的切線斜率為0或9, 即有過點A(2,2)的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9(x﹣2), 即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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