△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側作...
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問題詳情:
△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當點D在線段BC上時,
①BC與CF的位置關係為: .
②BC,CD,CF之間的數量關係為: ;(將結論直接寫在橫線上)
(2)數學思考
如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,結論①,②是否仍然成立?若成立,請給予*;若不成立,請你寫出正確結論再給予*.
(3)拓展延伸
如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF於點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請求出GE的長.
【回答】
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)①根據正方形的*質得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據全等三角形的*質即可得到結論;②由正方形ADEF的*質可推出△DAB≌△FAC,根據全等三角形的*質得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根據餘角的*質即可得到結論;
(2)根據正方形的*質得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根據全等三角形的*質以及等腰直角三角形的角的*質可得到結論.
(3)根據等腰直角三角形的*質得到BC=AB=4,AH=BC=2,求得DH=3,根據正方形的*質得到AD=DE,∠ADE=90°,根據矩形的*質得到NE=CM,EM=CN,由角的*質得到∠ADH=∠DEM,根據全等三角形的*質得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代換得到CN=EM=3,EN=CM=3,根據等腰直角三角形的*質得到CG=BC=4,根據勾股定理即可得到結論.
【解答】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故*為:垂直;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故*為:BC=CF+CD;
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB與△FAC中,,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC.
(3)解:過A作AH⊥BC於H,過E作EM⊥BD於M,EN⊥CF於N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,
∴CD=BC=1,CH=BC=2,
∴DH=3,
由(2)*得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,
∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四邊形CMEN是矩形,
∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,
在△ADH與△DEM中,,
∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,
∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,
∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,
∴GN=1,
∴EG==.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題
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