已知橢圓的離心率為，過頂點的直線與橢圓相交於兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓上且滿足，求直線的斜率的...

問題詳情：

已知橢圓的離心率為，過頂點的直線與橢圓相交於兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值.

【回答】

 解：(Ⅰ)因為e=,b=1,所以a=2,

故橢圓方程為..................................................... 4分

(Ⅱ)設l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

聯立     ，解得  (1+4k2)x2+8kx=0, …………………………………………7分

因為直線l與橢圓C相交於兩點，所以△=(8k)2>0,所以x1+x2=，x1×x2=0，

∵         ∴

點M在橢圓上，則m2+4n2=4,∴,化簡得   

x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, …………………10分

∴4k·()+4=0,解得k=±.故直線l的斜率k=±.…………………12分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題