已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓於另...

問題詳情：

已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，分別為橢圓的上，下頂點，過點且斜率為的直線交橢圓於另一點（異於橢圓的右頂點），交軸於點，直線與直線相交於點.求*：直線的斜率為定值.

【回答】

（1）；（2）*見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據條件求出，即可寫出橢圓方程；

（2）設直線的方程為，聯立直線與橢圓，可表示出座標，繼而得出直線的方程，令可得的座標，即可求出直線的斜率並得出定值.

【詳解】

（1）設橢圓的焦距為，則①，

②，又③，

由①②③解得，，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）*：易得，，直線的方程為，因為直線不過點，所以，

由，得，

所以，從而，，

直線的斜率為，故直線的方程為.

令，得，

直線的斜率.

所以直線的斜率為定值.

【點睛】

本題考查橢圓的方程的求法，考查橢圓中的定值問題，屬於中檔題.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題