如圖,矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上,將△CDP沿DP摺疊,點C落在點E處,PE、DE分...
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問題詳情:
如圖,矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上,將△CDP沿DP摺疊,點C落在點E處,PE、DE分別交AB於點O、F,且OP=OF,則cos∠ADF的值為( )
A. B. C. D.
【回答】
C
【解析】
根據摺疊的*質可得出DC=DE、CP=EP,由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP(AAS),根據全等三角形的*質可得出OE=OB、EF=BP,設EF=x,則BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x,進而可得出AF=1+x,在Rt△DAF中,利用勾股定理可求出x的值,再利用餘弦的定義即可求出cos∠ADF的值.
【詳解】
根據摺疊,可知:△DCP≌△DEP,
∴DC=DE=4,CP=EP.
在△OEF和△OBP中,,
∴△OEF≌△OBP(AAS),
∴OE=OB,EF=BP.
設EF=x,則BP=x,DF=DE﹣EF=4﹣x,
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC﹣BP=3﹣x,
∴AF=AB﹣BF=1+x.
在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4﹣x)2,
解得:x=,
∴DF=4﹣x=,
∴cos∠ADF=,
故選C.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與*質、勾股定理以及解直角三角形,利用勾股定理結合AF=1+x,求出AF的長度是解題的關鍵.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題
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