(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，求S...

问题详情：

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，求S△ADP∶S△CDE；

(3)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．

第7题图

【回答】

解：(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－x2＋bx＋8上，

∴0＝－×(－6)2＋(－6b)＋8，

解得b＝－，

∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8，

令x＝0，得y＝8，

∴C(0，8);

(2)设点E(t，－t2－t＋8)，

∴P(t，0)，

∵点D为EP的中点，

∴DP＝DE，D(t，－t2－t＋4)，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－6，0)，C(0，8)，

代入得：，

解得，

∴直线AC的解析式为y＝x＋8，

∵点D在直线AC上，

∴t＋8＝－t2－t＋4，

解得t1＝－6(舍去)，t2＝－4，

∴P(－4，0)，

∴AP＝2，OP＝4，

∴＝＝＝；

(3)存在．如解图①，连接EG，AG，过点G作GM⊥l，GN⊥x轴，垂足分别为M，N，

第7题解图①

∵EC∥x轴，

∴EP＝CO＝8，

把y＝8代入y＝－x2－x＋8，

则8＝－x2－x＋8，

解得x＝0(舍去)或x＝－2，

∴P(－2，0)，

∴AP＝AO－PO＝4，

(ⅰ)如解图①，当∠AEG＝90°时，

∵∠MEG＋∠AEP＝90°，

∠AEP＋∠EAP＝90°，

∴∠MEG＝∠EAP，

又∵∠APE＝∠EMG＝90°，

∴△EMG∽△APE，

∴＝，

设点G(m，－m2－m＋8)(m＞0)，

则GN＝MP＝－m2－m＋8，

∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，

MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m，

∴

∴m＝－2(舍去)或m＝，

∴G(，)；

(ⅱ)如解图②，当∠EAG＝90°时，

 第7题解图②

∵∠NAG＋∠EAP＝90°，

∠AEP＋∠EAP＝90°，

∴∠NAG＝∠AEP，

∵∠APE＝∠GNA＝90°，

∴△GNA∽△APE，

∴＝，

设点G(n，－n2－n＋8)(n＞4)，

∴GN＝n2＋n－8，AN＝AO＋ON＝6＋n，

∴＝，

∴n＝－6(舍去)或n＝，

∴G(，－)，

综上，符合条件的G点的坐标为(，)或(，－)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题