如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE交AE延长线于D,DM...
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如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE交AE延长线于D,DM⊥AC交AC的延长线于M,连接CD,以下四个结论:①∠ADC=45°;②BD=AE;③AC+CE=AB;④AC+AB=2AM.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D 解析:过E作EQ⊥AB于Q.∵∠ACB=90°,AE平分∠CAB,∴CE=EQ.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CBA=∠CAB=45°.∵EQ⊥AB,∴∠EQA=∠EQB=90°.由勾股定理得AC=AQ,∴∠QEB=45°=∠CBA,∴EQ=BQ,∴AB=AQ+BQ=AC+CE,∴①正确;作∠ACN=∠BCD,交AD于N.∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD,∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°,∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°,∴∠DBC=∠CAD.在△ACN和△BCD中,∴△ACN≌△BCD(ASA),CN=CD.∵∠ACN+∠NCE=90°,∴∠NCB+∠BCD=90°,∴∠CND=∠CDN=45°,∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN,∴AN=CN,∴∠NCE=∠AEC=67.5°,∴CN=NE,∴CD=AN=EN=AE,∴②正确,③正确;过D作DH⊥AB于H,∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°,∠DBA=90°-∠DAB=67.5°,∴∠MCD=∠DBA.∵AE平分∠CAB,DM⊥AC,DH⊥AB,∴DM=DH.在△DCM和△DBH中,
∴△DCM≌△DBH(AAS),∴BH=CM.由勾股定理得AM=AH,∴AC+AB=AC+AH+BH=AC+AM+CM=2AM,∴④正确.故选D.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题
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