在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点...

问题详情：

在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需*）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；

（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．

【回答】

【解答】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，

理由是：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，

∴DE=CF，

在△ADE和△DCF中

，

∴△ADE≌△DCF，

∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADP+∠CDF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°﹣90°=90°，

∴AE⊥DF；

（2）

（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，

理由是：有两种情况：

①如图1，当AC=CE时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE==a，

则CE：CD=a：a=；

②如图2，当AE=AC时，

设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE==a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，

∴DE=CD=a，

∴CE：CD=2a：a=2；

即CE：CD=或2；

（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是以AD为直径的圆，

如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，

∵在Rt△QDC中，QC===，

∴CP=QC+QP=+1，

即线段CP的最大值是+1．

【点评】本题考查了正方形的*质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的*质和判定，等腰三角形的*质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用*质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．

知识点：特殊的平行四边形

题型：综合题