（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（...

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（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=-x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．
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分析：（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到*；（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的*质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=

a

2

，从而可以求出n=

a

2

-1．
解答：解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=-x2+ax（a＞0）的图象上，∴y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1）∵y1=y2，∴-n2+an=-（n+1）2+a（n+1）整理得：a=2n+1∴a必为奇数；（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）化简得：0≤10-2n≤18-4n，解得：n≤4，∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．在Rt△ABD与Rt△CBE中，

AB=BC AD=CE

，∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．由等腰三角形*质可知，点A、C关于BN对称，∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，∴n+1=

a

2

，∴n=

a

2

-1．∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=

a

2

-1．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与*质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．

【回答】

分析：（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到*；（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的*质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=

a

2

，从而可以求出n=

a

2

-1．
解答：解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=-x2+ax（a＞0）的图象上，∴y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1）∵y1=y2，∴-n2+an=-（n+1）2+a（n+1）整理得：a=2n+1∴a必为奇数；（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）化简得：0≤10-2n≤18-4n，解得：n≤4，∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．（3）假设存在，则BA=BC，如右图所示．过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．在Rt△ABD与Rt△CBE中，

AB=BC AD=CE

，∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．由等腰三角形*质可知，点A、C关于BN对称，∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，∴n+1=

a

2

，∴n=

a

2

-1．∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=

a

2

-1．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与*质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．

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