已知:如图,在▱ABCD中,∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E,DF与AE相交于...
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已知:如图,在▱ABCD中,∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E,DF与AE相交于点G.
(1)求*:AE⊥DF;
(2)若AD=10,AB=6,AE=4,求DF的长.
【回答】
【考点】平行四边形的*质;垂线;平行线的*质;三角形内角和定理;角平分线的*质;勾股定理.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)根据平行四边形的*质和平行线的*质推出∠ADC+∠DAB=180°,根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=(∠ADC+∠DAB)=90°,即可求出结论;
(2)过点D作DH∥AE,交BC的延长线于点H,得到平行四边形AEHD,求出DH=AE=4,EH=AD=10,根据平行四边形的*质和平行线的*质推出DC=FC,AB=EB,求出BF、FE、FH的长,根据勾股定理即可求出*.
【解答】(1)*:在▱ABCD中AB∥CD,
∴∠ADC+∠DAB=180°.
∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线,
∴∠ADF=∠CDF=∠ADC,∠DAE=∠BAE=∠DAB,
∴∠ADF+∠DAE=(∠ADC+∠DAB)=90°,
∴∠AGD=90°,
∴AE⊥DF;
(2)解:过点D作DH∥AE,交BC的延长线于点H,
则四边形AEHD是平行四边形,且FD⊥DH.
∴DH=AE=4,EH=AD=10.
在▱ABCD中AD∥BC,
∴∠ADF=∠CFD,∠DAE=∠BEA.
∴∠CDF=∠CFD,∠BAE=∠BEA.
∴DC=FC,AB=EB.
在▱ABCD中,AD=BC=10,AB=DC=6,
∴CF=BE=6,BF=BC﹣CF=10﹣6=4.
∴FE=BE﹣BF=6﹣4=2,
∴FH=FE+EH=12,
在Rt△FDH中,DF===8.
答:DF的长是8.
【点评】本题主要考查对平行四边形的*质,勾股定理,三角形的内角和定理,平行线的*质,角平分线的定义,垂线的定义等知识点的理解和掌握,熟练地运用这些*质进行*是解此题的关键,题型较好,综合*强.
知识点:平行四边形
题型:解答题
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