如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作*线DE并绕点D逆时针旋转45°,交直线B...
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如图,在正方形ABCD中,E为直线AB上的动点(不与A,B重合),作*线DE并绕点D逆时针旋转45°,交直线BC边于点F,连结EF.
探究:当点E在边AB上,求*:EF=AE+CF.
应用:(1)当点E在边AB上,且AD=2时,则△BEF的周长是 .
(2)当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是 .
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】探究:作辅助线,构建全等三角形,*△DAG≌△DCF(SAS),得∠1=∠3,DG=DF,再*△GDE≌△FDE(SAS),根据EG的长可得结论;
应用:
(1)利用探究的结论计算三角形周长为4;
(2)分两种情况:①点E在BA的延长线上时,如图2,EF=CF﹣AE,②当点E在AB的延长线上时,如图3,
EF=AE﹣CF,两种情况都是作辅助线,构建全等三角形,*两三角形全等得线段相等,根据线段的和与差得出结论.
【解答】探究:*:如图,延长BA到G,使AG=CF,连接DG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠DAG=∠DCF=90°,
∴△DAG≌△DCF(SAS),
∴∠1=∠3,DG=DF,
∵∠ADC=90°,∠EDF=45°,
∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF,
∵DE=DE,
∴△GDE≌△FDE(SAS),
∴EF=EG=AE+AG=AE+CF;
应用:
解:(1)△BEF的周长=BE+BF+EF,
由探究得:EF=AE+CF,
∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4,
故*为:4;
(2)当点E不在边AB上时,分两种情况:
①点E在BA的延长线上时,如图2,
EF=CF﹣AE,理由是:
在CB上取CG=AE,连接DG,
∵∠DAE=∠DCG=90°,AD=DC,
∴△DAE≌△DCG(SAS)
∴DE=DG,∠EDA=∠GDC
∵∠ADC=90°,
∴∠EDG=90°
∴∠EDF+∠FDG=90°,
∵∠EDF=45°,
∴∠FDG=90°﹣45°=45°,
∴∠EDF=∠FDG=45°,
在△EDF和△GDF中,
∵,
∴△EDF≌△GDF(SAS),
∴EF=FG,
∴EF=CF﹣CG=CF﹣AE;
②当点E在AB的延长线上时,如图3,
EF=AE﹣CF,理由是:
把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG,可使AD与DC重合,连接DG,
由旋转得:DE=DG,∠EDG=90°,AE=CG,
∵∠EDF=45°,
∴∠GDF=90°﹣45°=45°,
∴∠EDF=∠GDF,
∵DF=DF,
∴△EDF≌△GDF,
∴EF=GF,
∴EF=CG﹣CF=AE﹣CF;
综上所述,当点E不在边AB上时,EF,AE,CF三者的数量关系是:EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF;
故*为:EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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