如图,在坐标系xOy中,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,A(1,0),B(0,),抛物线的图象...
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如图,在坐标系xOy中,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,A(1,0),B(0,),抛物线的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为1:2的两部分?
【回答】
解:(1)∵A(1,0),B(0,),
∴OA=1,OB=,AB=2,∠OBA=30°。
∵△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=60°,
∴AC=,BC=4,且BC∥x轴。
如图所示,过点C作CD⊥x轴于点D,则
∴OD=BC=4,CD=OB=。
∴C(4,)。
∵点C(4,)在抛物线上,
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:。
(2)。
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(1,0),B(0,),
∴,解得。
∴直线AB的解析式为。
设直线AC的解析式为y=mx+n,
∵A(1,0),C(4,),
∴,解得。
∴直线AC的解析式为。
在△CGH中,由得,即
解得或(大于4,不合题意,舍去)。
∴当直线l解析式为或时,恰好将△ABC的面积分为1:2的两部分。
【考点】二次函数综合题,动线问题,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程的关系,含30度直角三角形的*质,分类思想的应用。
【分析】(1)根据含30度直角三角形的*质,求出点C的坐标;然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。
(2)分直线l与AB、AC分别相交两种情况讨论即可。
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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