如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原...

问题详情：

 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若把抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移个单位长度，再向右平移n(n＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP的长.

【回答】

解：(1)把A.B.C三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y＝－x2＋x＋5；　

(2)∵抛物线顶点坐标为(1，)，新抛物线的顶点M坐标为(1＋n,1)，设直线BC解析式为y＝kx＋m，把B.C两点坐标代入可得，∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，令y＝1，代入可得1＝－x＋5，解得x＝4，∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范围为0＜n＜3；　

(3)当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意可知OB＝OC＝5，∴∠CBA＝45°，∴∠PAD＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，∴AD＝PD，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝，设PD＝AD＝m，则CD＝AC＋AD＝＋m，∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，∴△COA∽△CDP，，解得PC＝17；可求得PO＝PC－OC＝17－5＝12，如图2，在y轴正半轴上截取OP′＝OP＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA，∴∠OP′A＋∠OCA＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC＝12－5＝7，综上可知PC的长为7或17.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题