如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与...

问题详情：

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【回答】

解：(1)由题意得，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.

∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，

∴B(－3，0)．

设直线BC的解析式y＝mx＋n，

把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得

∴直线BC的解析式为y＝x＋3；

(2)如解图，连接MA，

第2题解图

∵MA＝MB，

∴MA＋MC＝MB＋MC.

∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.

∴M(－1，2);

(3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，

PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，

PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.

①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；

②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；

③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即：

4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.

综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题