已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的是( )A.直线与平面所成角的正弦值范围为B.点与...
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已知正方体棱长为,如图,为上的动点,平面.下面说法正确的是( )
A.直线与平面所成角的正弦值范围为
B.点与点重合时,平面截正方体所得的截面,其面积越大,周长就越大
C.点为的中点时,若平面经过点,则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D.己知为中点,当的和最小时,为的中点
【回答】
AC
【解析】
【分析】
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可判断A选项的正误;*出平面,分别取棱、、、、、的中点、、、、、,比较和六边形的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面与棱、的交点、,判断四边形的形状可判断C选项的正误;将矩形与矩形延展为一个平面,利用、、三点共线得知最短,利用平行线分线段成比例定理求得,可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,则点、、设点,
平面,则为平面的一个法向量,且,,
,
所以,直线与平面所成角的正弦值范围为,A选项正确;
对于B选项,当与重合时,连接、、、,
在正方体中,平面,平面,,
四边形是正方形,则,,平面,
平面,,同理可*,
,平面,
易知是边长为的等边三角形,其面积为,周长为.
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点,
易知六边形是边长为的正六边形,且平面平面,
正六边形的周长为,面积为,
则的面积小于正六边形的面积,它们的周长相等,B选项错误;
对于C选项,设平面交棱于点,点,,
平面,平面,,即,得,,
所以,点为棱的中点,同理可知,点为棱的中点,则,,
而,,且,
由空间中两点间的距离公式可得,,,
所以,四边形为等腰梯形,C选项正确;
对于D选项,将矩形与矩形延展为一个平面,如下图所示:
若最短,则、、三点共线,
,,
,所以,点不是棱的中点,D选项错误.
故选:AC.
【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围,同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题,考查空间想象能力与计算能力,属于难题.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:选择题
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