已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a...

问题详情：

已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．

（1）求m的取值范围；

（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．

【回答】

【考点】抛物线的简单*质．

【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x1+x2的和x1x2的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围

（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．

【解答】解：（1）设直线l的方程为y=x﹣m代入y2=ax，

得y2﹣ay﹣am=0．

设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），

△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，

y1+y2=a，y1y2=﹣am，

|AB|=≤a，∴m，

∴﹣＜m；

（2）由（1）线段AB的中点坐标为（+m，），

线段AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣﹣m），

令y=0，可得Q（m+a，0），

Q到AB的距离d=，

∴△QAB面积S=≤=，

∴△QAB面积的最大值为．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题